MATEMÁTICA - Análise combinatória

(Uerj) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.

Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a:

(Unesp) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”.

O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:

(PUC‑GO) [...] No quadro abaixo, de quantos modos é possível formar a palavra “MODERNIDADE”, partindo de um M e indo sempre para a direita ou para baixo?

Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesa?

Quantos números de três algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}?

Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4 e 5?

(Urca‑CE) Seja k =  . Então, podemos afirmar que:

(Unesp) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem escolhidas para aposta, são sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa R$ 2,00, uma aposta em 6 dezenas deve custar:

Com 4 saias, 4 blusas e 2 casacos, Paula afirma que leva em sua bagagem roupas suficientes para se arrumar de 10 maneiras distintas, no maximo, utilizando em cada vez uma saia, uma blusa e um casaco. Segundo um aluno Noel afirmou que Paula está errada. Então a quantidade maneiras distintas no maximo ela pode se arrumar é:

(Ufv 2004) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrientes para obter um composto químico. O número de compostos que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é:

São dadas duas retas r e s, paralelas entre si. Na reta r são marcados 4 pontos e, na reta s são marcados outros 5 pontos. Se, não há quaisquer pontos coincidentes, quantos triângulos distintos podem ser formados, ligando-se 3 desses 9 pontos?

(Unifesp) Duzentos e cinquenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5 questões de múltipla escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única resposta correta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada questão, uma única resposta, pode-se afirmar que pelo menos:

O colunista Raphael Montes relata:

Abro o Segundo Caderno d’O GLOBO do último sábado e, no meio das matérias, encontro um anúncio de editora: “Conheça os dez autores brasileiros mais vendidos do Grupo Editorial Record”. Em curiosa harmonia, ali figuram nomes como Carina Rissi, Graciliano Ramos, Eduardo Spohr, Paula Pimenta e Marcia Tiburi. Quase me caiu uma lágrima de satisfação.

Disponível em: <http://oglobo.globo.com/cultura/escritores-brasileiros-19540527#ixzz4PEWYSAlo  >. Acesso em: 16 nov. 2016.

Se para realizar uma exposição dos autores mais vendidos segundo o relato anterior for escolhido dois dos citados na coluna e 3 dos não citados, poderemos formar:

(PUC‑RS) O número de anagramas da palavra CONJUNTO que começam por C e terminam por T é:

Quantos anagramas podemos formar com a palavra AMOR?

(FGV‑SP) Um hospital dispõe de três médicos e de quatro enfermeiras para formar uma Comissão de Ética (CE) e uma Comissão de Controle de Infecções Hospitalares (CCIH). Cada comissão deve ser composta de um médico e duas enfermeiras e ninguém pode pertencer às duas comissões. Juntas, uma CE e uma CCIH constituem uma “formação”. O número de “formações” distintas que podem ser constituídas é:

(Enem 2017) - Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneiro de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga um única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro:

Se a quantidade de jogadores for 8 quantas partidas serão realizadas?

Em uma fila do cinema há 5 cadeiras consecutivas vazias. O número de maneiras que três pessoas, A, B e C, podem sentar- se nelas é:

(PUC‑PR) No jogo da Mega-Sena, um apostador pode assinalar entre 6 e 15 números, de um total de 60 opções disponíveis. O valor da aposta é igual a R$ 2,00 multiplicado pelo número de sequências de seis números que são possíveis, a partir daqueles números assinalados pelo apostador. Por exemplo: se o apostador assinala 6 números, tem apenas uma sequência favorável e paga R$ 2,00 pela aposta. Se o apostador assinala 7 números, tem sete sequências favoráveis, ou seja, é possível formar sete sequências de seis números a partir dos sete números escolhidos. Neste caso, o valor da aposta é R$ 14,00.

Considerando que se trata de uma aplicação de matemática, sem apologia a qualquer tipo de jogo, assinale a única alternativa correta.

Uma secretária possui 6 camisas, 4 saias e 3 pares de sapatos. O número de maneiras distintas com que a secretária poderá se arrumar usando uma camisa, uma saia e um par de sapatos corresponde a

Dona Fátima foi ao banco escolher uma senha de 4 algarismos para sua conta, sendo muito supersticiosa, ela não quer que a sequência 666, nessa ordem, apareça na senha. De quantas maneiras ela poderá escolher sua senha?

Um gerente de departamento comprou seis caixas de bombons idênticas, com as quais premiaria seu funcionário do mês. Entretanto, pelos seus critérios, quatro funcionários empataram em primeiro lugar. De quantas formas diferentes o gerente pode distribuir as caixas, sendo que cada funcionário deve receber ao menos uma e nenhuma deve sobrar?

(Enem) Três casais, C₁, C₂ e C₃, resolveram passear de pedalinho em uma lagoa de sua cidade. Chegando na lagoa, tiveram que escolher um entre três trajetos possíveis, e cada um deles escolheu um trajeto diferente. Sabe-se que os três casais saíram juntos do mesmo ponto de partida e que cada um deles finalizou o trajeto escolhido e retornou ao ponto inicial após, respectivamente, 2, 3 e 8 minutos.

Considere que os três casais realizaram o trajeto escolhido, repetidamente, até que se reencontrassem pela primeira vez no ponto de partida. Dessa forma, o total de trajetos realizados pelos três casais foi

(UFMG) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o programador musical conta com 10 músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock e 3 de Pop. Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos programas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as 10 músicas. Assim sendo, é correto afirmar que o número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas agrupadas por estilo é dado por:

Um resort oferece atividades de lazer distintas entre si, sendo quatro tipos de artesanato no turno da manhã, quatro tipos de esporte à tarde e quatro tipos de dança à noite. Um hóspede quer escolher três atividades de manhã, duas de tarde e uma à noite. Para facilitar a visualização por parte do cliente, no site do resort é possível fazer todas as combinações  possíveis de atividades.

O número total de maneiras diferentes que o hóspede pode escolher as atividades diárias, sem repetir nenhuma delas, é igual a

No xadrez, normalmente, a torre se move em linha reta horizontal ou vertical, sem poder pular outras peças.

Diz-se que uma torre está confrontando outra peça se esta se encontra alinhada horizontal ou verticalmente com a torre.

Em um tabuleiro de xadrez com 64 casas, de quantas maneiras é possível dispor uma torre branca e uma preta sem que ambas se confrontem?

Para escolher a senha em um site o usuário deverá seguir a seguinte regra:

1. Escolher uma senha entre 6 a 8 dígitos.

2. A senha só deve conter algarismos (escolhidos dentre os de 0 a 9) e letras (escolhidas dentre as 26 do alfabeto).

3. Deverá alternar letra e número ou número e letra.

Uma empresa possui diversas linhas telefônicas as quais se diferenciam apenas pelos quatro últimos dígitos. Sabe-se que as linhas correspondentes aos diretores têm seus últimos dois dígitos com soma igual a nove. Uma telefonista recém-contratada recebeu uma ligação identificada como “diretoria”, mas não pôde atendê-la. Por isso, tentou retornar a ligação, testando as possíveis combinações. Quantas tentativas foram necessárias, se ela acertou na última possibilidade, sem ter repetido nenhuma das ligações?

No escritório que trabalha Cássio há 11 colegas de trabalho, 7 homens e 4 mulheres. Ele está planejando uma festa para 6 convidados (dentre seus colegas de trabalho) com pelo menos duas mulheres presentes, para fazer essa festa ele terá:

Considere que, num tabuleiro de xadrez, a peça a seguir sempre pode andar uma “casa” de cada vez, em qualquer uma das direções indicadas. Sendo assim, quantos são os caminhos possíveis até a casa marcada com “x”, considerando que a distância entre a peça e o x deve sempre diminuir, a cada movimento?

(MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:

O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de um figura plana e o slogan "juntos num só ritimo", com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões visinha tenhao cores diferentes.

De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?

(UFRN) A figura [...] mostra um quadro com sete lâmpadas fluorescentes, as quais podem estar acesas ou apagadas, independentemente umas das outras. Cada uma das situações possíveis corresponde a um sinal de um código. 

Nesse caso, o número total de sinais possíveis é:

(UCS‑RS) Em uma prova, as seis primeiras questões eram do tipo C/E, em que o candidato devia optar entre certo ou errado para sua resposta. Nas outras quatro questões, o candidato devia escolher, entre três alternativas, a verdadeira.

Quantas sequências de respostas são possíveis na resolução da prova?

A maior palavra da língua portuguesa, de acordo com o dicionário Houaiss é:

pneumoultramicroscopicossilicovulcanoconiótico

Essa palavra significa: “Pessoa que sofre de uma doença pulmonar, a pneumoconiose, causada pela aspiração de cinzas vulcânicas.”

O número de anagramas dessa enorme palavra termina em:

(Unicamp‑SP) O grêmio estudantil do colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão?

(UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

A quantidade de maneiras que pode-se organizar n livros numa prateleira é dada por n!.

O professor Marcelo tem 10 livros de matemática no início do ano e os organiza em uma prateleira de maneira aleatória. Ao longo do ano vai emprestando livros a seus alunos e, em determinado momento, verifica que emprestou 4 dos 10 livros de sua prateleira.

A expressão que dá a diferença das possibilidades de organização desses livros na primeira e na segunda situação é dada por:

O treino de classificação da Fórmula 1 é dividido em três sessões, o Q1, o Q2 e o Q3. O “Q” vem de “Qualifying”, que, em inglês, quer dizer “Qualificação” ou “Classificação”. E, como a ordem numérica sugere, são as fases do treino de classificação que definem o grid de largada na corrida. No Q1, todos os 20 pilotos têm 18 minutos para ir à pista e tentar completar uma volta no menor tempo possível. Os 15 melhores tempos se classificam para o Q2. No Q2, que dura 15 minutos, 10 pilotos avançam para o Q3 e cinco são descartados. No Q3, são definidas as posições iniciais do grid, sendo que os 10 melhores pilotos do Q2 têm 12 minutos para buscar o melhor tempo possível.
Disponível em: <https://jc.ne10.uol.com.br>. Acesso em: 29 ago. 2022 (Adaptação).

Com base nas informações apresentadas, a expressão que melhor representa a quantidade de maneiras distintas em que as três primeiras posições do grid podem ser formadas, após a definição dos pilotos classificados para o Q3, é dada por:

Determinado aplicativo para reuniões on-line permite que o usuário participe de uma chamada por meio de um link de acesso ou da inserção do código da reunião diretamente no aplicativo.

Os códigos das reuniões são formados por três grupos de letras minúsculas, em que o primeiro e o terceiro grupo têm 3 letras cada e o segundo grupo tem 4 letras, conforme destacado na imagem. Sabe-se que a escolha das letras que compõem os códigos é feita de maneira aleatória entre as 26 letras do alfabeto.

O número de códigos distintos que podem ser gerados para as reuniões nesse aplicativo é dado por:

Cinco sinaleiros estão alinhados. Cada um tem três bandeiras: uma amarela, uma verde e uma vermelha. Os cinco sinaleiros levantam uma bandeira cada, ao mesmo tempo, transmitindo-se assim um sinal. A quantidade  de sinais diferentes que se pode transmitir é:

(UEA‑AM) Um determinado artesanato terá uma faixa colorida composta de três listas de cores distintas, uma lista abaixo da outra. As cores utilizadas serão azul, vermelha e laranja. 

O número de maneiras distintas em que essas listas coloridas podem ser dispostas de forma que as cores azul e vermelha fiquem sempre juntas é:

Marcos esqueceu sua senha de cartão de crédito formada por 3 dígitos numéricos sem repetição. Nessas circunstâncias, e sabendo que o primeiro número da senha é igual a 5, a chance de Marcos acertar a senha numa única tentativa é: